labyrinth explainer

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.13%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Papers-as-Plots%20%232%20%E2%80%94%20a%20labyrinth%20walk%2C%20drawn%20by%20a%20robot%0A%0A%20%20%20%20**Paper%3A**%20V.%20Basios%2C%20C.%20G.%20Antonopoulos%2C%20A.%20Latifi%2C%20*Labyrinth%20Chaos%3A%0A%20%20%20%20Revisiting%20the%20Elegant%2C%20Chaotic%20and%20Hyperchaotic%20Walks*%2C%0A%20%20%20%20%5BarXiv%3A2011.11009%5D(https%3A%2F%2Farxiv.org%2Fabs%2F2011.11009)%20(2020).%0A%0A%20%20%20%20Instance%20%231%20(Gray-Scott)%20was%20a%20*field*%20rendered%20as%20hundreds%20of%20closed%0A%20%20%20%20contours.%20This%20one%20is%20the%20opposite%20kind%20of%20object%3A%20a%20**single%20continuous%0A%20%20%20%20trajectory**%20of%20a%203-D%20dynamical%20system%20%E2%80%94%20one%20line%2C%20one%20pen%20stroke%2C%20that%0A%20%20%20%20wanders%20forever%20through%20a%20lattice%20of%20unstable%20equilibria%20and%20weaves%20a%0A%20%20%20%20labyrinth.%20This%20notebook%20integrates%20the%20paper's%20actual%20equations%20live.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20system%0A%0A%20%20%20%20R%C3%B6ssler%20and%20Thomas'%20cyclically-symmetric%20flow%20(the%20paper's%20eq.%20(LabN)%2C%0A%20%20%20%20indices%20cyclic)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7BdX_i%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%5Csin%5C!%5Cleft(X_%7Bi%2B1%7D%5Cright)%20-%20b%5C%2CX_i%2C%20%5Cqquad%20i%3D1%2C2%2C3%24%24%0A%0A%20%20%20%20i.e.%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cdot%20X_1%3D%5Csin%20X_2%20-%20bX_1%2C%5Cquad%0A%20%20%20%20%20%20%5Cdot%20X_2%3D%5Csin%20X_3%20-%20bX_2%2C%5Cquad%0A%20%20%20%20%20%20%5Cdot%20X_3%3D%5Csin%20X_1%20-%20bX_3.%24%24%0A%0A%20%20%20%20Its%20fixed%20points%20sit%20on%20the%20**infinite%20lattice**%20%5C(X_i%20%3D%20k%5Cpi%5C)%20and%20are%0A%20%20%20%20*all%20unstable*%2C%20so%20the%20orbit%20can%20never%20settle%20%E2%80%94%20it%20hops%20from%20one%20saddle%20to%0A%20%20%20%20the%20next.%20The%20single%20parameter%20%5C(b%5C)%20sets%20the%20whole%20character%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%5C(b%5C)%20%7C%20name%20%7C%20behaviour%20%7C%0A%20%20%20%20%7C------%7C------%7C-----------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%5C(0%5C)%20%7C%20**labyrinth%20walks**%20%7C%20volume-preserving%2C%20*no%20attractor*%2C%20a%20wandering%20**space-filling**%20walk%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%5C(0.17%5C)%20%7C%20**labyrinth%20chaos**%20%7C%20dissipative%2C%20a%20bounded%20tangled%20chaotic%20orbit%20%7C%0A%0A%20%20%20%20Move%20%5C(b%5C)%20below.%20At%20%5C(b%3D0%5C)%20the%20walk%20escapes%20across%20many%20lattice%20cells%3B%0A%20%20%20%20turn%20%5C(b%5C)%20up%20and%20it%20collapses%20into%20a%20bounded%20scroll.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20b%20%3D%20mo.ui.slider(0.0%2C%200.30%2C%20value%3D0.0%2C%20step%3D0.01%2C%20label%3D%22dissipation%20%20b%22)%0A%20%20%20%20steps%20%3D%20mo.ui.slider(5000%2C%2060000%2C%20value%3D30000%2C%20step%3D5000%2C%20label%3D%22integration%20steps%22)%0A%20%20%20%20proj%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22isometric%20(true%203-D%20orbit)%22%3A%20%22iso%22%2C%20%22(X1%2CX2)%20plane%22%3A%20%22xy%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22isometric%20(true%203-D%20orbit)%22%2C%20label%3D%22projection%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bb%2C%20steps%2C%20proj%5D)%0A%20%20%20%20return%20b%2C%20proj%2C%20steps%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Real%20RK4%20integration%20of%20the%20paper's%20exact%203-D%20system.%0A%20%20%20%20DT%20%3D%200.03%0A%0A%20%20%20%20def%20deriv(X%2C%20b_val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x1%2C%20x2%2C%20x3%20%3D%20X%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.array(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.sin(x2)%20-%20b_val%20*%20x1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.sin(x3)%20-%20b_val%20*%20x2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.sin(x1)%20-%20b_val%20*%20x3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D)%0A%0A%20%20%20%20def%20integrate(b_val%2C%20n_steps%2C%20x0%3D(0.1%2C%200.0%2C%200.0)%2C%20warmup%3D2000)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X%20%3D%20np.array(x0%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(warmup)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k1%20%3D%20deriv(X%2C%20b_val)%3B%20k2%20%3D%20deriv(X%20%2B%200.5*DT*k1%2C%20b_val)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k3%20%3D%20deriv(X%20%2B%200.5*DT*k2%2C%20b_val)%3B%20k4%20%3D%20deriv(X%20%2B%20DT*k3%2C%20b_val)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20X%20%3D%20X%20%2B%20(DT%2F6.0)*(k1%20%2B%202*k2%20%2B%202*k3%20%2B%20k4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20out%20%3D%20np.empty((int(n_steps)%2C%203))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range(int(n_steps))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k1%20%3D%20deriv(X%2C%20b_val)%3B%20k2%20%3D%20deriv(X%20%2B%200.5*DT*k1%2C%20b_val)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k3%20%3D%20deriv(X%20%2B%200.5*DT*k2%2C%20b_val)%3B%20k4%20%3D%20deriv(X%20%2B%20DT*k3%2C%20b_val)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20X%20%3D%20X%20%2B%20(DT%2F6.0)*(k1%20%2B%202*k2%20%2B%202*k3%20%2B%20k4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20out%5Bi%5D%20%3D%20X%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20out%0A%0A%20%20%20%20def%20project(orbit%2C%20kind)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x1%2C%20x2%2C%20x3%20%3D%20orbit%5B%3A%2C%200%5D%2C%20orbit%5B%3A%2C%201%5D%2C%20orbit%5B%3A%2C%202%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20kind%20%3D%3D%20%22xy%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20x1%2C%20x2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%20%3D%20np.radians(30.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(x1%20-%20x3)%20*%20np.cos(a)%2C%20x2%20-%20(x1%20%2B%20x3)%20*%20np.sin(a)%0A%0A%20%20%20%20return%20integrate%2C%20project%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(b%2C%20integrate%2C%20steps)%3A%0A%20%20%20%20orbit%20%3D%20integrate(b.value%2C%20steps.value)%0A%20%20%20%20return%20(orbit%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(b%2C%20np%2C%20orbit%2C%20plt%2C%20proj%2C%20project)%3A%0A%20%20%20%20px%2C%20py%20%3D%20project(orbit%2C%20proj.value)%0A%20%20%20%20cells%20%3D%20(orbit.max(0)%20-%20orbit.min(0))%20%2F%20np.pi%0A%0A%20%20%20%20fig%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.4%2C%206.4))%0A%20%20%20%20ax.plot(px%2C%20py%2C%20color%3D%22black%22%2C%20lw%3D0.5)%0A%20%20%20%20ax.set_aspect(%22equal%22)%0A%20%20%20%20ax.axis(%22off%22)%0A%20%20%20%20regime%20%3D%20%22labyrinth%20walks%20(no%20attractor)%22%20if%20b.value%20%3D%3D%200%20else%20%22labyrinth%20chaos%22%0A%20%20%20%20ax.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22b%3D%7Bb.value%3A.2f%7D%20%20%E2%80%94%20%20%7Bregime%7D%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22lattice%20cells%20spanned%20per%20axis%20(cell%3D%CF%80)%3A%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%5B%7Bcells%5B0%5D%3A.0f%7D%2C%20%7Bcells%5B1%5D%3A.0f%7D%2C%20%7Bcells%5B2%5D%3A.0f%7D%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20From%20orbit%20to%20physical%20object%0A%0A%20%20%20%20The%20curve%20above%20is%20exactly%20what%20the%20pen%20plotter%20traces%20%E2%80%94%20**one**%20stroke%2C%0A%20%20%20%20%60fill%3D%22none%22%20stroke%3D%22black%22%60%2C%20no%20lifts.%20The%20full-resolution%20artifacts%2C%0A%20%20%20%20%60labyrinth-basios.svg%60%20(%5C(b%3D0%5C)%2C%20the%20space-filling%20walk)%20and%0A%20%20%20%20%60labyrinth-basios-chaos.svg%60%20(%5C(b%3D0.17%5C))%2C%20are%20generated%20by%0A%20%20%20%20%60generate_attractor.py%60%20and%20are%20drop-ins%20for%20the%20Edgeless%20Lab%20print%0A%20%20%20%20pipeline%20%E2%80%94%20the%20same%20SVG%20convention%20as%20instance%20%231's%20Gray-Scott%20plot.%0A%0A%20%20%20%20**Why%20this%20proves%20repeatability%3A**%20instance%20%231%20was%20a%20scalar%20*field*%20%E2%86%92%0A%20%20%20%20many%20closed%20contours.%20Instance%20%232%20is%20a%20*trajectory*%20%E2%86%92%20one%20continuous%0A%20%20%20%20line.%20Completely%20different%20mathematics%20and%20geometry%2C%20but%20the%20pipeline%0A%20%20%20%20around%20them%20%E2%80%94%20arXiv%20%E2%86%92%20the%20paper's%20real%20equations%20%E2%86%92%20numerical%20solve%20%E2%86%92%0A%20%20%20%20stroke-only%20SVG%20%E2%86%92%20plotter%20%2B%20this%20explainer%20%E2%80%94%20is%20identical.%20The%20generator%0A%20%20%20%20per%20paper%20is%20small%3B%20the%20pipeline%20is%20built.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A